אלגוריתם למשיכות משתנות מתיק השקעות תוך שמירה על הסיכון הממוצע

זהו פוסט "אחר", וקצת מחוץ ל-scope הרגיל של "עלילות זיק". יש לאתר זה קוראים עם מטרות שונות ורמות העמקה שונות בנושאים שונים.

באתר זה מחשבונים וכלים פיננסיים שעלולים להיראות כ"קופסא שחורה" עבור אי אילו מהקוראים. יש לומר שבצדק. חלק מהקוראים היותר מדקדקים ומעמיקים היו שמחים לדעת מה קורה שם מאחורי אותו כפתור "חשב".

ברוב המקרים האלגוריתמים של המחשבונים הם straightforward ומתקבלים מנוסחאות היוון וערך עתידי. במקרים מסוימים, אני נתקל בסוגיות מורכבות יותר שאותן אני תוקף באופן שלי נראה הכי הגיוני. כאן כבר נכנסת למשחק הפרשנות הסוביקטיבית שלי את הדברים.

בפוסט זה אסקור התמודדות שלי עם תת בעיה במסגרת "מחשבון הפרישה המוקדמת" - שימוש במחקר טריניטי לתיכנון פרישה המשלבת תיק פרטי וגם פנסיה וגם במצב של משיכות משתנות לאורך הזמן.

מה בכלל הצורך בזה?

מחקר טריניטי קובע אחוז משיכה בטוח בהתאם לרמת הודאות שדורש הפורש כדי שתיקו לא יאזל. המחקר מניח משיכה קבועה במשך כל התקופה תוך הצמדה למדד.
הבעיה שבמציאות משיכה היא לא בהכרח קבועה. ספציפית, במקרים אותם אני בוחן במחשבון הפרישה המוקדמת המשיכה במשך השנים משתנה מ-2 סיבות:

1. הלוואות שאיתן נכנס הפורש לתוך תקופת הפרישה שנפרעות במורד הדרך ובכך מפחיתות את הצורך בתיק.


2. תחילת קבלת קצבה מקרן הפנסיה מפחיתה את הצורך בתיק או מייתרת אותו כליל.

אם להיצמד רק למשיכה בתחילת הפרישה, בסבירות גבוהה, מדובר בהחמרה שלא תנצל את משאבי התיק הפרטי במלואם. זאת מאחר והתלות בתיק תלך ותפחת במשך הזמן. זה היה גוזר יציאה לפרישה מוקדמת במועד מאוחר מדי. זה משהו, שבהשקפה שלי, כדאי להמנע ממנו אך יש לעשות זאת באופן מושכל.

Roadmap

"מחקר טריניטי" מספק את אחוז המשיכה הבטוח מהתיק כדי שזה יספיק לכמות דרושה של שנים ובסיכוי הצלחה מסוים. הרעיון הוא:

1. לתרגם את מחקר טריניטי למונחים של תשואה ממוצעת מתיק ההשקעות שניתן לצפות עבור סיכויי הצלחה מסוימים לפרק זמן כלשהו.

   למה לעשות זאת? נוח יותר לבצע מניפולציות אלגבריות אם ידועה התשואה וגם ניתן להגמיש את אופן החישוב כפי שיוסבר בהמשך.

2. לכשיהיה קיים קשר בין תשואה למשך הזמן הדרוש מהתיק, ניתן יהיה להתכנס, בכל זרם של משיכות, למתווה פרישה (גודל תיק וזמן שהתיק צריך לשרוד) שיקיים בדיוק את דרישת התשואה הממוצעת מהתיק כדי שיאזל בדיוק בסוף התקופה שהוא נדרש. האקוויולנט של זה הוא שהערך העתידי של כל המשיכות יהיה בדיוק כמו של זה של משיכות קבועות לפי אחוז המשיכה הבטוח לאותו פרק זמן.

באופן זה ינוטרל האילוץ של משיכה קבועה מהתיק מבלי לשנות את הסיכון בהיבט שעדיין תדרש מהתיק אותה תשואה מאוד נמוכה בממוצע כנגזר מטריניטי. משתמע מכאן שאם סכום המשיכה אינו קבוע, אז בחלק מהזמן ימשך מהתיק סכום גבוה מאחוז המשיכה הבטוח עבור אותו פרק זמן אבל מנגד, חלק מהזמן ימשך אחוז נמוך יותר ובכך יאזן את הסיכון הממוצע שבמשיכות.

הנחת יסוד: שינויים בגובה המשיכה הם "הפרעה קטנה" לסיכויי ההצלחה של תוכנית הפרישה ואלו לא צריכים להשתנות מהותית אם המשיכות מקיימות ערך עתידי זהה לזה של משיכות קבועות לפי אותה תשואה ממוצעת מחולצת ממחקר טריניטי. הנחה זו תדרוש אימות באלגוריתם דומה למה שעשו בטריניטי.

האתגר הראשון - תרגום המתווה של טריניטי למונחי התשואה השנתית מהתיק

מי שמתבונן על הטבלה של מחקר טריניטי רואה הצגה שקצת קשה לעיכול (איור 1) - לכל תמהיל תיק (מניות/אג"ח) מופיעה טבלה שבה בחיתוך בין אחוז משיכה בטוח ומספר שנים נתון סיכוי ההצלחה לשרידות של התיק בפרק זמן זה. זה בעצם אומר בתרחיש הקיצוני ביותר בגבולות ההצלחה התיק יסיים את התקופה ב-0 עגול.

איור 1 - הטבלה המיתולוגית של מחקר טריניטי

אני פחות אוהב לעבוד עם טבלאות ולטובת חלקות ומהירות של אלגוריתמים מעדיף לקרב אותן לקשר אמפירי כלשהו. במקרה זה, קישרתי בין אחוז המשיכה הבטוח לבין אחוז הצלחה ומספר שנים (נוסחה 1). y - מספר שנים שהתיק נדרש לשרוד, safety - אחוז הביטחון שהתיק ישרוד, SWR - אחוז משיכה שנתי.

איכות הקורלציה ניתנת לבחינה ויזואלית מתוך איור 2 בו 16 מקרים מתוך הטבלה של טריניטי נבדקים ביחס לקורלציה. ציר ה-x הוא מספר המקרה כפי שמסומן בתת-טבלה הצמודה מתוך טריניטי. הערה: נבדק מקרה של 75% מניות כאן ובכל יתר המאמר.

נוסחה 1 - מחקר טריניטי בצורת נוסחה

איור 2 - בדיקת התאמת הנוסחה האמפירית לטבלה של טריניטי

אבל המטרה היא לקשור "אחוז הצלחה" דרוש עם מספר שנים שדרושות מהתיק ותשואה (על חשבון תלות באחוז משיכה בטוח). כלומר חסר קשר בין אחוז משיכה בטוח לתשואה.

הקשר הזה מתקבל מתוך נוסחה של ערך עתידי שמאפס את התיק בעקבות משיכות קבועות על פני כל השנים לפי תשואה שהיא פרמטר. מיטיבי הלכת יכולים לפתח זאת בעצמם, להיעזר בנוסחה של סכום גיאומטרי ולקבל את הקשר בנוסחה 2. w זו המשיכה השנתית מהתיק, S זה הסכום בתחילת המשיכות, r זו התשואה הריאלית. יש לשים לב למעבר בין w/S=SWR שלפיו דורשים שהמשיכה שתאפס את התיק תהיה בדיוק לפי אחוז המשיכה הבטוח. זו בעצם נקודת החיבור בין נוסחה 1 ו-2.

נוסחה 2 - קשר בין תשואה לאחוז המשיכה הבטוח

מכאן, מציבים נוסחה 1 לתוך 2 ומקבלים את המשוואה "הסתומה" 3:

נוסחה 3 - קשר בין תשואה ריאלית למספר שנות משיכה ואחוז הצלחה

לתוך משוואה 3 יש לגשת עם ערך מבוקש (שכל פורש יקבע לעצמו) של אחוז הצלחה (safety) וניתן לחלץ את התשואה r לכל ערך של מספר שנים עד שהתיק יאזל y. משוואה סתומה כזו ניתנת לפיתרון נומרי דרך סכמה נומרית כגון Newton-Raphson.

ניתן להציג באופן גרפי את מרחב הפיתרונות של משוואה 3 (איור 3). כל עקום מייצג אחוז הצלחה דרוש אחר. באופן טבעי, ככל שהאחוז גבוה יותר אז התשואה שיש להניח לתיק היא נמוכה יותר לכל פרק זמן. בכל עקום רואים שהתשואה עולה ככל שמספר שנות המשיכה עולה. הגרפים לא מתחילים מהראשית וזה אומר שעבור מספר שנים נמוך מדי יש להניח תשואה 0, כלומר ניתן לכל היותר להתבסס על הצמדה למדד בשנים אלו.

איור 3 - מרחב פיתרונות התשואה הממוצעת

התוצאות עלולות להרים גבות, רק 2.95% ב-85% הצלחה על פני 40 שנים? על כך בחלק הבא.

השתגעת?? מדדים עושים ריאלית 7%!!!

ראשית, זה נכון בטווח ארוך מאוד. שנית, זה שגוי לתכנן פרישה על סמך זה. הסיבה שמחקר טריניטי בוצע מלכתחילה היא שסטיית התקן של תיקי השקעות עשויה להיות גבוהה. העיתוי שיגיעו שנים רעות מאוד או טובות מאוד עלול לשנות מקצה לקצה את סיכוי ההצלחה של תוכנית פרישה. למשל, אם סמוך לפרישה יגיע רצף של 5 שנים "רעות" עם תשואה שלילית מצטברת של 40%, תוכנית הפרישה עלולה לעלות בתוהו אפילו אם לאחר מכן יגיעו 30 שנים של תשואה ממוצעת 14%. טיימינג הוא הכל כאן. על כן המחקר בודק כל עיתוי פרישה אפשרי על פני מספר עשורים ומחשב את סיכוי ההצלחה כמספר העיתויים שבהם נותר סנט לפחות בתיק מתוך סך כל העיתויים הנבדקים. התירגום של זה, באופן בלתי מפורש, הוא תשואה ממוצעת נמוכה בהרבה שיש להניח מהתיק לכדי שישרוד. נמוכה בהרבה מהתשואה הרב שנתית.

אבל, וזה אבל גדול, יכול גם להיות מצב של גידול חד בהון בתום תקופת המשיכה. אני בונה את המחשבונים על הצד המחמיר כדי שמקסימום נופתע לטובה.

אתגר שני - תיכנון פרישה ע"י שימוש בעקום תשואה-שנות פרישה

כעת משברשותנו משוואה 3, התהליך במחשבון מתנהל באופן הבא:

1. מחשבים מספר שנים (y) שהתיק צריך לשרת את איש החלומות, למשל עד גיל 67 או עד גיל 60. אם בגיל 60 מתחיל למשוך קצבה מוכרת אך עדיין יש תלות בתיק עד לגיל 67 אז יש להשתמש במספר שנים עד גיל 67.


2. מחשבים שווי נקי של התיק בנקודת זמן המבוקשת (תיקי השקעות פחות התחיבויות).


3. מחלצים את התשואה הדרושה מהתיק עבור מספר השנים ואחוז ההצלחה המבוקשים (משוואה 3).


4. מחשבים את מצב התיק בעוד y שנים לפי כל המשיכות הדרושות בשנים האלה. אם הערך שלילי אז לא ניתן לפרוש עכשיו, מפחיתים את y (כלומר קופצים שנה קדימה מהיום) וחוזרים לשלב 1. אם בסוף התקופה הערך מתאפס בדיוק אז ניתן לפרוש בנקודת הזמן.

איור 4 - הלוגיקה בתרשים

כעת נדגים את האלגוריתם ונחדד את שימושיותו דרך 2 דוגמאות.

דוגמא 1 - שלומיק

שלומיק מתעתד למשוך קצבת פנסיה מגיל 67. כיום הוא בן 40. בתקופה הגישור (AKA "הפרישה המוקדמת") הוא חישב שנדרשים לו 79087 ש"ח בשנה. אחוז ההצלחה שהוא דורש הוא 85%. כיום יש לשלומיק 1,300,000 ש"ח, בכל שנה, אם לא יצא לפרישה, היתרה תגדל ב-100 אלף (חיסכון+תשואה). בחישוב האיטרטיבי, מתחילים מ-y=67-40=27. ממשוואה 3 מתקבלת תשואה r=2.608%. כעבור 27 שנים המשיכה של 79087 מתיק של 1.3 מיליון והתשואה r תוביל לתיק שלילי, כלומר אין היתכנות לפרישה כיום. מכאן, משנים את y ל-26 וחוזרים על חישוב. שוב מקבלים שהתיק לא שורד. משנים y ל-25 ומתקבל שהתיק מתאפס לאחר 25 שנים בדיוק כלומר יש התכנות לפרישה שנתיים מהיום. תרימו לשלומיק!

טבלת האיטרציות וגרף מצב התיק מוצגים באיור 5.

איור 5 - התכנסות האלגוריתם עבור שלומיק וגרף מצב התיק שלו במשך שנות הפרישה המוקדמת.

בדיקה מעניינת שניתן לעשות היא בדיקת התוצאה אל מול מחקר טריניטי. הרי ידוע מה היה מצב התיק ביציאה לפרישה -1.5 מיליון וידוע סכום המשיכה השנתי 79087. כלומר אחוז המשיכה שהתקבל הוא 5.27%. אם ניכנס לתוך טבלת מחקר טריניטי (כזכור 75% מניות), ב-25 שנים ונראה בקירוב מה סיכוי ההצלחה עם 5.27% משיכה נראה שהם מעט פחות מ-87% (אינטרפולציה תיתן כ-83%), שזה קרוב מאוד ל-85% שנדרשו.

לכשהבנו את כל זה מתחדדת שאלה

נשאלת השאלה למה לא להסתפק פשוט בטבלה של טריניטי בכל איטרציה? למשל להגדיר את אחוז ההצלחה ולבדוק אם בנקודת זמן אחוז המשיכה נותן את מספר השנים הדרוש מהתיק? למעשה ניתן לעשות זאת, בין אם דרך שימוש בטבלה (איור 1) או דרך הקשר האמפירי (נוסחה 1). הדילמה נוצרת כאשר המשיכה לאורך השנים יורדת, מסיבות שצוינו קודם ואחרות. במצב זה אם יבוצע חישוב על פי המשיכה הראשונה בלבד, קרי הגבוהה ביותר, אז האלגוריתם יספק נקודת זמן לפרישה שהיא מאוחרת מדי. הסיבה שזה שקול ללהניח שהמשיכה הגבוה תהיה לאורך כל התקופה. אם בפועל המשיכה פוחתת, אז בתום התקופה נותרת בתיק בסבירות מוחלטת יתרה משמעותית מאוד.

להחמיר זה לא בהכרח דבר רע. עם זאת, שנותנו על האדמה הזו קצובות וחלקנו לא רוצים לכלות זמן מיותר תחת הפלואורוסנט.

אז עבור מי שרוצה להתחפף מוקדם יותר ובסיכוי גבוה גם לעשות זאת נכון, עדיף להשתמש באלגוריתם המוצע (לא שיש ברירה למי שמשתמש במחשבון הפרישה המוקדמת). הדוגמא הבאה ממחישה את המשמעות.

דוגמה 2 - חדווה וסיגלית

במקרה של חדווה נחסוך את איטרציות ההתקדמות ונציג מקרה שמתכנסים על הפעם הראשונה, אבל כאן הדגש הוא אחר. חדווה בת 40 היום וצריכה את התיק למשך 22 שנים. על שמה של חדווה הלוואה שיורדת בתשלומים שנתיים של 12865.08 ש"ח למשך 10 שנים. פרט לזה לחדווה צורך בקצבה שנתית מהתיק על סך 75000 ש"ח. כלומר ב10 שנים הראשונות הדרישה מהתיק היא 87865 ש"ח וב-12 השנים לאחר מכן 75000 ש"ח. גובה התיק של חדווה 1.5 מיליון ואחוז ההצלחה הדרוש לה הוא 90%. משוואה 3 נותנת תשואה ריאלית שיש להניח של 1.77%. חישוב מצב התיק לאחר 22 שנים מוביל להתאפסות מדויקת, כלומר חדווה יכולה לפרוש היום תחת ההנחות שצוינו.

מה בעצם קרה פה? האינטואיציה צריכה לומר שבממוצע חדווה לא משכה מחוץ לאחוז הבטוח, אבל נקודתית בהחלט כן. הסיבה היא ששימוש בתשואה האקוויולנטית מאלץ מיצוע הסיכון על פני התקופה דרך משיכות שגבוהות מעט מה"בטוח" בחלק מהזמן שמתאזנות עם משיכות שנמוכות במעט מה"בטוח" בשאר הזמן.

בכדי להחדד את הנקודה הזו נחשב מצב היפותטי נוסף שבו פורשת אחרת, סיגלית, באותו גיל של חדווה ועם אותה יתרה ודרישה לאחוז הצלחה, רוצה לפרוש במקביל. אין לה הלוואה והיא אומרת לעצמה שהיא תפרוש בכל מחיר על ידי הפנמה של הסכום שמותר לה לצרוך באופן קבוע. חישוב שנגזר ישירות ממשוואה 1 מוביל לתוצאה 81865 ש"ח. כצפוי ערך זה נמצא בכמחצית הדרך בין המשיכות הראשונות של חדווה (87865) למשיכות האחרונות שלה (75000). מכאן, מתחדדת ההבנה שבמקרה של חדווה מתקבל מעין פיצוי של תת סיכון בסוף התקופה עקב סיכון מוגבר בהתחלה.

באופן גרפי מוצג מצב התיק של חדווה וסיגלית באיור 6.

איור 6 - חדווה וסיגלית - הדגמה של משמעות סטיה ממשיכה קבועה באלגוריתם המוצע

לסיכום

מחשבון פרישה מוקדמת הולך ועובר שינויים ככל שאני מדייק את תפיסותיי. הקו המנחה היה ונשאר שמירה על זהירות אך לא חרדתיות. אני כאן לפרוש בזמן סביר אך גם לא להיכשל תוך כדי הפרישה. האלגוריתם שהוצג כאן, נמצא בלב לבו של מחשבון הפרישה המוקדמת ומאפשר תכנון פרישה שבמהלכה המשיכה מהתיק תקטן מסיבות כגון תחילת קבלת קצבה מקרן פנסיה או סילוק הלוואות, תוך הצמדות לקו שהותווה במחקר טריניטי.